Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7

Đề thi khảo sát Học sinh giỏi năm 2025

Bài thi môn: Toán lớp 7

Thời gian làm bài: 120 phút

(Đề thi số 1)

Đề thi số 1 bao gồm cả phần ghi kết quả và phần tự luận, giúp đánh giá kỹ năng tính toán nhanh cũng như khả năng lập luận của thí sinh. Các bài toán trong đề thi không chỉ yêu cầu tính toán đơn thuần mà còn đòi hỏi tư duy sáng tạo, chẳng hạn như câu hỏi về bánh răng hay tìm giá trị nguyên. Đặc biệt, đề thi số 1 có nhiều bài toán hình học với mức độ nâng cao, giúp kiểm tra khả năng lập luận hình học của học sinh. Hãy cùng Devfet đọc qua nội dung đề số 1.

I.  PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ điền kết quả vào tờ giấy thi)

Câu 1: Tính giá trị biểu thức  $A=\frac{-4}{7}.\frac{7}{11}-\frac{3}{7}.\frac{7}{11}-\frac{4}{11}$.

Câu 2: Một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật với tỉ số độ dài hai cạnh của nó bằng $\frac{3}{5}$và chu vi bằng 48 m. Tính diện tích của mảnh vườn đó.

Câu 3: Một hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật với các kích thước đáy dưới là 4 cm, 5 cm và chiều cao là 12 cm. Hỏi hộp sữa đựng bao nhiêu mililit sữa? (biết hộp sữa đựng đầy và 1cm³ = 1ml)

Câu 4: Một bánh răng có 40 răng, quay mỗi phút được 15 vòng, nó khớp với một bánh răng thứ hai. Giả sử bánh răng thứ hai quay một phút được 20 vòng. Hỏi bánh răng thứ hai có bao nhiêu răng?

Câu 5: Tính giá trị biểu thức: $\text{B}=\frac{1}{4.9}+\frac{1}{9.14}+\frac{1}{14.19}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{44.49}.$

Câu 6: Cho đa thức f (x) xác định với mọi x thỏa mãn:  $x.f\left(x+2\right)=\left(x^2–9\right).f\left(x\right)$. Tính f(5) + f(7).

Câu 7: Một hộp đựng 60 viên bi trong đó có 15 viên bi màu xanh, 15 viên bi màu đỏ, 15 viên bi màu vàng và 15 viên bi màu trắng. Cần phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên bi (mà không nhìn trước) để chắc chắn trong số đó có không ít hơn 8 viên bi cùng màu?

Câu 8: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị nguyên $C=\frac{1-2x}{x+3}$.

Câu 9: Cho tam giác ABC có số đo góc A bằng $70°$ . Hai tia phân giác góc B và góc C cắt nhau tại I. Tính số đo góc BIC.

Câu 10: Cho tam giác ABC cân tại A, $\hat{A}=80°$. Ở miền trong tam giác lấy điểm I sao cho $\widehat{IBC}=10°$, $\widehat{ICB}=30°$. Tính $\widehat{AIB}$.

II. PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải đầy đủ vào tờ giấy thi)

Câu 11: a) Tìm x, biết: $\frac{x-1}{8}=\frac{2}{x-1}$.

b) Tìm x, y biết: $\frac{5+x}{8+y}=\frac{5}{8}$ và x + y = 26.

Câu 12: a) Cho $\frac{a}{c}=\frac{c}{b}$. Chứng minh rằng: $\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{b}$.

b) Tìm các số nguyên x, y biết: x + 2xy – y – 4 = 0.

Xem thêm: Đại học luật tuyển sinh 2018

Câu 13:  Cho tam giác ABC vuông ở A, có số đo góc C bằng $30°$, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB. Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh:

a) Tam giác ABD là tam giác đều;

b) AH = CE;

c) HE song song với AC.

Câu 14: a) Cho x, y, z thỏa mãn: 3x = 2y; 5y = 4z. Tính: $P=\frac{2x+3y+4z}{3x+4y-5z}$.

b) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:  

$2\left(ab+bc+ca\right)>a^2+b^2+c^2.$

Đề thi số 1 bao gồm cả phần ghi kết quả và phần tự luận, giúp đánh giá kỹ năng tính toán nhanh cũng như khả năng lập luận của thí sinh. Các bài toán trong đề thi không chỉ yêu cầu tính toán đơn thuần mà còn đòi hỏi tư duy sáng tạo, chẳng hạn như câu hỏi về bánh răng hay tìm giá trị nguyên. Đặc biệt, đề thi số 1 có nhiều bài toán hình học với mức độ nâng cao, giúp kiểm tra khả năng lập luận hình học của học sinh.

(Đề thi số 2)

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Tính: $A=1\frac{13}{15}.{\left(0,5\right)}^2.3+\left(\frac{8}{15}-1\frac{19}{60}\right):1\frac{23}{24}$.

b) Tìm x biết: $\frac{15}{28}-\left|x-\frac{3}{14}\right|=-\frac{5}{12}$.

Câu 2. (1,5 điểm)

a) Tìm x, y, z biết: $\frac{x}{3}=\frac{y}{4};\frac{y}{6}=\frac{z}{8}$ và 2x + y – z = – 14.

b) Tính giá trị của đa thức $P=x^3+x^{2}y-2x^2–xy–y^2+3y+x+2023$ với x + y = 2.

Câu 3. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho DB = CE. Gọi M là trung điểm của BC, từ B và C kẻ BH và CK lần lượt vuông góc với AD và AE. Chứng minh:

a) Tam giác ADE cân;

b) AM là tia phân giác của góc DAE;

c) BK = CH;

d) Ba đường thẳng AM, BH, CK cùng đi qua một điểm.

Câu 4. (2,5 điểm)

a) Chứng minh rằng: nếu x và y là các số nguyên sao cho 2x + 3y chia hết cho 17 thì

9x + 15y chia hết cho 17.

b) Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh (p -1) (p +1) chia hết cho 24.

c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức $C=\frac{4x-7}{x-2}$ có giá trị nguyên.

Câu 5. (1,0 điểm) Cho $A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}+\frac{1}{2023}$ và

$B=\frac{1}{1007}+\frac{1}{1008}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{2022}+\frac{1}{2023}$. Hãy so sánh A và B.

Đề thi số 2 cũng có sự đa dạng về dạng bài, với mức độ tương đương đề thi số 1. Tuy nhiên, đề thi số 2 có vẻ nhấn mạnh hơn vào việc chứng minh toán học, đặc biệt là các bài toán số học và bài toán tổ hợp, điển hình như bài chứng minh chia hết hay bài toán tìm số nguyên tố. Những câu hỏi này giúp rèn luyện khả năng tư duy logic của học sinh.

Xem thêm: Văn tự sự lớp 10

Điểm chung của cả hai đề thi là đều có sự kết hợp giữa đại số và hình học, với các câu hỏi được sắp xếp từ cơ bản đến nâng cao, phù hợp để đánh giá toàn diện học sinh. Đề thi số 1 có thể gây áp lực hơn một chút do yêu cầu tính toán nhiều, trong khi đề thi số 2 lại có phần thiên về suy luận. Tuy nhiên, cả hai đề thi đều phản ánh được mức độ thử thách cần có để chọn ra những học sinh xuất sắc nhất.